¿ Que es la Hipérbola?

Ustedes ya conocen a las hipérbolas como la representación gráfica de funciones homográficas. El ejemplo más sencillo es la gráfica de la función 

        

La hipérbola es una curva plana, abierta y simétrica. Su simetría es axial respecto a dos ejes perpendiculares entre sí y central respecto a un punto llamado centro de la hipérbola. En un principio los griegos de la antigüedad la estudiaron como sección de un cono cortado por un plano. Pero también se puede definir como lugar geométrico, esto es, un conjunto de puntos que satisfacen una condición geométrica. Considerada como lugar geométrico la hipérbola se puede definir de dos formas, una definición llamada bifocal y otra llamada monofocal, sin embargo, en este curso nos limitaremos a derivar la ecuación a partir de la definición bifocal.

Definición geométrica

Menecmo se dio cuenta de que geométricamente, el problema consiste en encontrar el punto de corte de dos curvas cónicas, que pueden ser dos parábolas, o una parábola y una hipérbola (Mora, 2010) 

Reciben el nombre de cónicas las curvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano. Si el plano secante corta todas las generatrices (las dos ramas de la superficie cónica) y no pasa por el vértice, la sección que produce es una curva abierta de dos ramas, que recibe el nombre de hipérbola.

 Nota: Ver aplicación interactiva "Secciones cónicas" del capítulo "Ecuación general de 2° grado" disponible en la dirección: http://www.geogebratube.org/student/c6961/m67380/ylyy

Dados dos puntos F₁ y F₂ llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto de puntos del plano tales que el valor  absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante.

H= {P(x,y)||d(P;F₁)–d(P;F₂)|=2a=cte}

Si la distancia entre los focos es d (F₁,F₂)=2c, la condición para que sea una hipérbola es:

C > a > 0
c² > a²
c2 –a² = b²⇒ c²=a² + b²

Ecuación canónica de la hipérbola

Con una deducción similar a la de la elipse, se obtiene:

Es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en (0,0)

$<span\; class="mjx-char"><span\; aria-hidden="true"\; style="border-spacing:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; display:\; inline-block;"><span\; style="border:\; none\; windowtext\; 1.0pt;\; font-size:\; 13.5pt;\; mso-border-alt:\; none\; windowtext\; 0cm;\; padding:\; 0cm;"><span\; role="presentation"\; style="box-sizing:\; border-box;\; clip:\; rect(1px,\; 1px,\; 1px,\; 1px);\; overflow:\; hidden;\; user-select:\; none;"><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi><span\; class="mjx-char"><em><b><span\; role="presentation"\; style="box-sizing:\; border-box;\; clip:\; rect(1px,\; 1px,\; 1px,\; 1px);\; overflow:\; hidden;\; user-select:\; none;"><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>\; </mi></math></span></b></em></span></mi></math></span></span></span></span>$

Busquemos las intersecciones con los ejes:

Entonces no corta al eje y los puntos v_{1, 2}  se denominan vértices de la hipérbola

Elementos de la hipérbola

Eje focal: recta que contiene a los focos, en este caso es el eje x

a se denomina semieje real o transverso b se denomina semieje imaginario 2c es la distancia entre los focos

Se cumple que c²=a²+b²

En la hipérbola aparece un elemento nuevo que no tiene ninguna de las otras cónicas: las asíntotas.

$$

Ecuaciones de las asíntotas

Para trazar las asíntotas armemos un rectángulo auxiliar que ayudará a graficar la hipérbola, y luego tracemos las rectas que contienen a sus diagonales (esas rectas serán las asíntotas). Una vez trazadas las asíntotas, es sencillo realizar un gráfico aproximado de la hipérbola:

Los focos, como los vértices de la hipérbola, están sobre el eje x. Como $c>a$, los focos están más alejados del origen que los vértices (c²=a²+b²).

Si en la ecuación canónica anterior permutamos x por y queda:

Es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en (0,0) y eje focal x=0 eje y.

¿Cómo reconocer, dada la ecuación canónica de una hipérbola si el eje focal es vertical u horizontal?

·         Si el coeficiente de x2 es positivo, sabemos que el eje focal es el eje x

·         Si el coeficiente de y2 es positivo, sabemos que el eje focal es el eje y

Hallar la gráfica de la curva definida por la ecuación:

La ecuación responde a la forma canónica de una hipérbola con eje focal x$\mathrm{.\; Luego:<o:p></o:p>}$

$$

Grafiquemos lo obtenido hasta el momento:

Luego podemos dar las coordenadas de los vértices, de los focos y de las asíntotas:

Hallar la gráfica de la curva definida por la ecuación:

Como el coeficiente de y2

¿Cómo se obtienen las coordenadas de los focos? Falta calcular el valor de c$c$ mediante la relación:

Como se puede deducir de la gráfica, las ecuaciones de las asíntotas son:

En el siguiente applet construido utilizando GeoGebra, se puede visualizar una familia de curvas que responden a la ecuación:

Moviendo con el cursor el deslizador se puede dar a k$k$ diferentes valores y observar cómo se modifica la curva:

Ecuación ordinaria de una hipérbola

La ecuación ordinaria de una hipérbola con eje focal horizontal y centro en C(α,β) es:

La ecuación ordinaria de una hipérbola con eje focal vertical y centro en  C(α,β)$\mathrm{ es:}$

Observemos que la diferencia esencial reside en que el signo negativo está en el término con la variable x

Casos particulares de hipérbolas

Hipérbola equilátera

Una hipérbola equilátera es aquella en la cual el semieje real es de igual longitud que el semieje imaginario. Es decir que su ecuación puede ser de la forma:

Cómo se aprecia en la gráfica las hipérbolas conjugadas tienen iguales asíntotas.

Ejercicios

En las siguientes hipérbolas calcular los ejes, focos, vértices y asíntotas y representa gráficamente:

En las siguientes hipérbolas calcular los ejes, focos, vértices y asíntotas y representa gráficamente:

El foco de una hipérbola se halla a una distancia de 6 unidades de un vértice y a 14 unidades del otro. Escribe su ecuación.

Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los focos   F (3, 0) y F'(-3, 0)   es igual a 4

Otro método:

para mayor conocimiento, chequea los siguientes videos para enriquecer lo que has aprendido 

Bibliografías

Tinoco, G. (2013). Hipérbola: Elementos y ecuación de la hipérbola. [Manuscrito no publicado]. México: UAEM.

Utneduar. (2018). Álgebra y Geometría Analítica. Retrieved 9 December, 2018, from https://aga.frba.utn.edu.ar/

Mora, J (2010). Duplicación cubo. Recuperado el 26 de marzo de 2013 desde http://matematicas.uclm.es/ita-cr/web_matematicas/trabajos/257/Duplicacion_cubo.pdf