¿Qué es una circunferencia?

¿Qué es una circunferencia? 
una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro, llamado centro de la circunferencia. 
No debemos nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en realidad una circunferencia es la curva que encierra a un círculo (la circunferencia es una curva, el círculo una superficie). 


Elementos básicos De una circunferencia

Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia. 
Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia. 
Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia. 
Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia. 
Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia. 
Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un radio.

La circunferencia goniométrica

La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria o «círculo unidad» es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas. Para interpretar y extender las definiciones de las razones trigonométricas a cualquier ángulo, y no únicamente a los ángulos agudos, se representan las razones trigonométricas en la circunferencia goniométrica. Cualquier punto P(x, y) de la circunferencia unidad nos define el ángulo formado por la semirrecta OX y la semirrecta positiva del eje X, recorriendo el ángulo en el sentido inverso a las agujas del reloj. Si nos fijamos en el primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1, con lo que obtenemos que x es el coseno del ángulo a e y es el seno a. Este resultado nos permite extender la definición del seno y coseno a cualquier ángulo. Para ello, definimos como seno de cualquier ángulo a la ordenada del punto (y) y coseno la abscisa del punto (x) en la circunferencia goniométrica. Resumiendo, cualquier punto de la circunferencia trigonométrica tiene como coordenadas (cosa, seno)

A continuación tienes una aplicación que te permite ver con mayor claridad las razones trigonométricas de todo tipo de ángulos

                                               

Se presentan aquí las graficas de las funciones trigonométricas sen(x), cos(x) y tg(x). También se puede ver la de y = x, para comparar con sen(x) y tg(x), y la de y = 1 - x²/2, para compar con cos(x). Se puede presentar la circunferencia goniométrica, para relacionarlas con la definición geométrica, o no. En el primer caso el deslizador permite variar el ángulo entre 0 y 360°, indicando su valor en grados y radianes; en el segundo, el ángulo varía desde -3π/4 hasta 9π/4, expresado solo en radianes.

GEOGEBRA

EJERCICIOS A SOLUCIONAR

 Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:

1 

2 

3 

4 4x² + 4y² − 4x − 8y − 11 = 0

Ángulos de la circunferencia:

• Ángulo centralEs el ángulo que tiene su vértice en el centro y sus lados lo forman dos radios.

-Si dos ángulos centrales son iguales también lo son los arcos correspondientes.
-La medida de un arco central es la misma que la de su ángulo central correspondiente.

• Ángulo inscritoEs aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.

-La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.

• Ángulo semi-inscrito
  Es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y un lado es tangente y el otro secante a ella.

- La medida de un ángulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca. 

• Ángulo interiorEs aquel que tiene su vértice en un punto interior del círculo. Sus lados con cuerdas de la circunferencia.

-Un ángulo interior mide la mitad de la suma de las medias de su arcos que abarcan su lados y las prolongaciones de los mismos. 

• Ángulo exteriorEs aquel que tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia y del circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia.

- La medida de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca el ángulo.

Aquí están dos círculos con sus circunferencias y diámetros etiquetados:

$\greenD{\text{Diámetro = 1}}$$\greenD{\text{Circunferencia} \approx 3.14159...}$$\goldD{\text{Diámetro = 2}}$$\goldD{\text{Circunferencia} \approx 6.28318...}$$\large{\text{Círculo 2:}}$$\large{\text{Círculo 1:}}$

Echemos un vistazo a la razón de la circunferencia entre el diámetro en cada círculo:

	Círculo 1	Círculo 2
$\dfrac{\text{Circunferencia}}{\text{Diámetro}}$:	$\dfrac{3.14159...}{1} = \redD{3.14159...}$	$\dfrac{6.28318...}{2} = \redD{3.14159...}$

¡Fascinante! La razón entre la circunferencia, $C$, y el diámetro, $d$, de ambos círculos es $\redD{3.14159...}$

$\dfrac{C}{d} = \redD{3.14159...}$

Resulta que esto es verdad para todos los círculos, lo que hace a $\redD{3.14159...}$¡uno de los números más importantes de todas las matemáticas! Lo llamamos "pi", y lo denotamos por su propio símbolo: $\redD\pi$.

$\dfrac{C}{d} = \redD{\pi}$

Al multiplicar ambos lados de la fórmula por $d$,

$C = \redD\pi d$

Con esta fórmula, podemos encontrar la circunferencia, $C$, de cualquier círculo, siempre y cuando conozcamos su diámetro, $d$.

Cómo usar la fórmula $C = \pi d$

Determinemos la circunferencia del siguiente círculo:

$10$

El diámetro es $10$, por lo que sustituimos $d = 10$ en la fórmula $C = \pi d$:

$C = \pi d$

$C = \pi \cdot 10$

$C = 10\pi$

¡Eso es todo! Podemos dejar nuestra respuesta en términos de $\pi$. Así, la circunferencia del círculo es $10 \pi$ unidades.

TOMADO DE:

http://www.estudiantes.info/matematicas/1eso/images/circunferencia-desarrollo.htm
https://es.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-area-and-perimeter/area-circumference-circle/a/radius-diameter-circumference
https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia
https://wiki.geogebra.org/es/Comando_Circunferencia
https://www.vitutor.com/geo/coni/fActividades.html

 Videos; https://www.youtube.com/watch?v=YEwR2Xkx9Nc