La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Pero el concepto geométrico de parábola es más amplio, como veremos a continuación.
El siguiente gráfico muestra una “parábola acostada”:
Existen también las parábolas rotadas. Por ejemplo si
nosotros graficáramos en algún programa de
computadora el conjunto de puntos que satisfacen la
ecuación x2+2xy+y2+2x–2y=0x2+2xy+y2+2x–2y=0, obtendríamos la siguiente
gráfica:
La Parábola es un término que proviene del latín parabŏla y que tiene su origen más remoto en un vocablo griego. En el ámbito de la matemática, la parábola es el espacio geométrico de los puntos de un plano que tienen equidistancia respecto a un punto fijo y una recta. Este lugar se crea a partir de la acción de un plano que es paralelo a la generatriz y que disecciona un cono circular.
La parábola constituye una curva cónica que suele trazarse en
fenómenos frecuentes, como la caída de agua de una fuente o el movimiento de un
balón o pelota que es impulsado por un jugador de básquetbol: “Manu Ginóbili
lanzó con una gran parábola para evitar a su defensor y logró encestar”.
Si bien la parábola emerge como una sección cónica, al intersectar un cono circular con un
plano, hemos adoptado una noción posterior como lugar geométrico que ha sido aceptada
desde el siglo XVIII: “el conjunto de todos los puntos del plano equidistan de un punto fijo
llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz” (Arancibia y Mena, 2007, p.395)
Elementos de la parábola
· foco: Es el punto
fijo .
· Directriz: Es la
recta fija .
· Parámetro: A la
distancia entre el foco y la directriz de una parábola se le llama
parámetro .
· Eje: La recta
perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es
el eje de simetría de la parábola.
· Vértice: Es el
punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver como el punto de
intersección del eje con la parábola.
· Radio vector: Es
el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
Lopes (2014) sostiene
también que comprender
la parábola como
lugar geométrico a
partir de sus propiedades geométricas tiene un valor
importante, frente a comprenderla desde un aspecto meramente algebraico. Dicho
valor solo se
alcanza enseñando desde
sus aspectos geométricos
y utilizando la tecnología que permita deducir sus
propiedades geométricas.
Que es la ecuación canónica de la parábola con V(0,0)V(0,0) y eje focal y=0y=0 (eje xx).
Que es la ecuación canónica de la parábola con V(0,0)V(0,0) y eje focal y=0y=0 (eje xx).
Donde
si,
c>0⇒c>0⇒ Las ramas de la parábola
apuntan hacia la derecha
c<0⇒c<0⇒ Las ramas de la parábola
apuntan hacia la izquierda
Análogamente
a lo desarrollado para una parábola con eje focal horizontal, se puede hacer la
deducción para las parábolas con eje focal vertical. Si permutamos variables
sobre la expresión
canónica tenemos la expresión canónica de la parábola
vertical:
x2=4cyx2=4cy
Ecuación
canónica de la parábola con V(0,0)V(0,0) y
eje focal x=0x=0 (eje yy).
Donde
si,
c>0⇒c>0⇒ Las ramas de la parábola
apuntan hacia la arriba c<0⇒c<0⇒ Las ramas de la parábola apuntan hacia la abajo
Coordenadas
del foco: F(0,c)F(0,c)
Ecuación
de la directriz d:y=–c
Ecuación ordinaria de la parábola
Consideremos una parábola cuyo vértice V(α,β)V(α,β) no
coincide con el origen del sistema xyxy :
Armamos un nuevo sistema cuyo centro coincida con VV,
la ecuación canónica en este nuevo sistema sería:
y′2=4cx′y′2=4cx′
Debemos realizar una traslación de ejes para poder tener la
ecuación escrita en el sistema xyxy
La relación entre los dos sistemas de coordenadas es la
siguiente:
x′+α=xx′+α=x
y′+β=yy′+β=y
O reordenando:
{x′=x–αy′=y–β{x′=x–αy′=y–β
Éstas son las ecuaciones de traslación de ejes.
Si reemplazamos las ecuaciones de traslación en la
expresión y‘2=4cx′y‘2=4cx′ obtenemos la ecuación en el sistema
original:
(y–β)2=4c(x–α)(y–β)2=4c(x–α)
Ésta es la ecuación ordinaria de la parábola con
vértice V(α,β)V(α,β) y eje focal paralelo al eje xx.
Análogamente:
(x–α)2=4c(y–β)(x–α)2=4c(y–β)
Es la ecuación de la parábola con vértice V(α,β)V(α,β) y
eje focal paralelo al eje yy.
¿Cómo nos damos cuenta si el eje focal es vertical u
horizontal? Observando cuál de las variables está elevada al cuadrado:
- Si yy está
al cuadrado, entonces es horizontal.
- Si xx está
al cuadrado, entonces es vertical.
Ejemplo
Hallar la ecuación de la parábola de directriz x=4x=4 y
foco F(–2,0)F(–2,0).
Ejemplo
Determinar en cada caso el término de la función que satisface las
condiciones dadas y dibujar la gráfica: De una parábola normal se sabe
que: a) Su vértice es el punto V(-2,-1) b) La parábola corta el eje x en los
puntos P1(-2,0) y p2(4,0). c) La recta x = 2 es el eje de simetría, y la
parábola pasa por el origen. d) El punto V( __ , -1) es el vértice , y el
origen del sistema de coordenadas es un punto de la parábola..
Es conveniente realizar una figura de análisis que
represente los datos del enunciado:
El valor absoluto de cc es la distancia del
vértice al foco.
|c|=d(V,F)|c|=d(V,F)
El vértice está sobre el eje focal y a la misma distancia
del foco que de la directriz:
V=(–2+42,0)=(1,0)V=(–2+42,0)=(1,0)
Eje focal: eje xx
Como el eje es horizontal la ecuación tiene la forma:
(y–0)2=4c(x–1)(y–0)2=4c(x–1)
Falta calcular el valor absoluto de cc.
|c|=d(F,V)=3|c|=d(F,V)=3
Como el foco está a la izquierda del vértice entonces c=–3c=–3.
Entonces queda:
y2=–12(x–1)y2=–12(x–1)
Lado recto
El lado recto es la longitud de la cuerda que es
perpendicular al eje focal y pasa por el foco. Se puede demostrar que la
longitud del lado recto es |4c||4c|
Ésta es la ecuación general. Observen que
hay una única variable que está al cuadrado y la otra es lineal.
Les proponemos las siguientes preguntas:
- Si E=0E=0, ¿dónde está ubicado el vértice?
- cuál
es la ecuación general de una parábola de eje vertical?
Ejemplo
Analizar qué lugar geométrico representa la siguiente
ecuación:
y2+4x–2y+2=0y2+4x–2y+2=0
¿Qué curva representan los puntos que verifican esta
ecuación? Observando que una sola de las variables está elevada al cuadrado,
podemos pensar en una parábola. Deberíamos llegar al siguiente modelo:
Primero hay que completar cuadrados en y
y2–2y+12–12=(y–1)2–1y2–2y+12–12=(y–1)2–1
Entonces
(y–1)2–1+4x+2=0(y–1)2–1+4x+2=0
(y–1)2=–4x–1(y–1)2=–4x–1
(y–1)2=–4(x+14)(y–1)2=–4(x+14)
Ésta es la ecuación ordinaria de la parábola que tiene V(–14,1)V(–14,1) y
eje focal paralelo al eje xx.
Parábola
con vértice en el origen
La
definición de la parábola establece que la distancia AP es
igual a la distancia PF para cualquier punto de la
parábola.
La
ecuación de la parábola se obtiene al calcular (de manera general) la distancia de
cualquiera de sus puntos al foco, y a la directriz, e igualarlas.
La
ecuación de la parábola con vértice en el origen, y eje que coincide con el
eje X, es
y 2 = 4 px
En donde el foco es
el punto ( p,0) , y la ecuación de la directriz es x =
– p . Si p0 la parábola se abre hacia el lado
positivo del eje, si p < 0 , la parábola se abre hacia la
parte negativa del eje
Parábola
con distintas orientaciones
Cuando la parábola tiene vértice en el origen y su eje coincide con el ejeY su
ecuación es x 2 =4 py en
donde el foco es el punto (0, p) , y la ecuación de la directriz
es y = – p . Si p0 la parábola se
abre hacia el lado positivo del eje, si p0, la parábola se abre
hacia la parte negativa del eje.Ejemplo:
Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, y la ecuación de su directriz, si la parábola tiene vértice en el origen, pasa por el punto (4, -2) y su eje coincide con el eje Y
Solución:
Como el problema nos dice que el eje de la parábola coincide con el eje Y, su ecuación tendrá la forma x 2 = 4 py.
EJERCICIOS
Dada la parábola calcular su vértice,
su foco y la recta directriz
2p=8
V(0,0) F(2,0) x=-2
vídeos
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bibliográficas
Arancibia, S. y Mena, J. (2007). Matemática para Ingeniería. Introducción al Cálculo. Chile: Ediciones Universitarias de Valparaíso
Lopes, S. (2014). Una secuencia didáctica para la enseñanza de la parábola en como lugar geométrico. [Tesis de maestría en Educación Matemática]. Pontificia Universidad Católica de Sao Paulo.
Utneduar. (2018). Álgebra y Geometría Analítica. Retrieved 9 December, 2018, from https://aga.frba.utn.edu.ar/
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